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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 30

Calcular

int int_S^() (x^2 + y^2) d S

Onde S é a superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 16

Passo 1

Podemos resolver esse exercício resolvendo a integral da seguinte maneia

int int_S^() f d S = int int_R^() f (x , y , z ( x , y )) sqrt(1 + ((del z)/(del y))^2 + ((del z)/(del x))^2) d y d x

OU seja projetando a região no plano XY e parametrizando Z em função de X e Y

Primeiro vamos visualizar a região que vamos projetar

Vamos ter esse circulo de raio 4. Nossa parametrização para z fica

z = sqrt(16 - x^2 - y^2)

Passo 2

Vamos calcular as parciais de z

z_x = (- 2 x)/(2 sqrt(16 - x^2 - y^2)) -> (- x)/(sqrt(16 - x^2 - y^2))

O mesmo raciocínio vale para y

z_y = (- y)/(sqrt(16 - x^2 - y^2))

Passo 3

Vamos agora montar nossa integral

int_()^() int_()^() (x^2 + y^2) sqrt(1 + ((- x)/(sqrt(16 - x^2 - y^2)))^2 + ((- y)/(sqrt(16 - x^2 - y^2)))^2) d y d x

= int_()^() int_()^() (x^2 + y^2) sqrt(1 + (x ²)/(16 - x^2 - y^2) + (y ²)/(16 - x^2 - y^2)) d y d x

= int_()^() int_()^() (x^2 + y^2) sqrt((16 - x^2 - y^2)/(16 - x^2 - y^2) + (x ²)/(16 - x^2 - y^2) + (y ²)/(16 - x^2 - y^2)) d y d x

= int_()^() int_()^() (x^2 + y^2) sqrt((16 - x^2 - y^2 + x^2 + y^2)/(16 - x^2 - y^2)) d y d x

= sqrt(16) int_()^() int_()^() (x^2 + y^2) sqrt((1)/(16 - x^2 - y^2)) d y d x

Agora chegamos a um impasse. Integrar uma região circular em coord. Cartesianas é pedir para morrer bem lentamente. Seria mais interessante ( e muito mais rápido nós fazermos a passagem para polar – Lembrando que temos que multiplicar pelo jacobiano nessa conversão 😉 ). Para convertermos usamos a equação

x^2 + y^2 = r ²

Assim nossa integral fica

= 4 int_0^(2 pi) int_0^4 (r ²) sqrt((1)/(16 - r^2)) r d r d theta

Os limites de integração em polar são muito mais fáceis de enxergar. O raio cresce de 0 a 4 e o ângulo varia em 2 pi . Okay, essa não é a integral mais fácil do mundo. Mas temos um truque na manga! Vamos primeiro integrar em relação a theta visto que nossas variáveis não dependem dele

= 4 * 2 pi int_0^4 ((r^2))/(sqrt(16 - r^2)) r d r

= 8 pi int_0^4 (r)/(sqrt(16 - r^2)) r^2 d r

Decidi deixar explicito os fatores de r assim porque vai ficar um pouco mais obvio o próximo truque. Vamos fazer uma substituição

16 - r^2 = u -> r^2 = 16 - u

- 2 r d r = d u

Agora vamos achar os novos limites de integração

r = 4 -> u = 0

r = 0 -> u = 16

= 8 pi int_(16)^0 - (1)/(2 sqrt(u)) (16 - u) d u

= 8 pi int_(16)^0 - (1 6)/(2 sqrt(u)) + (u)/(2 sqrt(u)) d u

Agora sim ficou uma integral mais fácil de se resolver

= 8 pi int_(16)^0 - (16)/(2 sqrt(u)) + (sqrt(u))/(2) d u

= 8 pi ((- 16 sqrt(u) + (1)/(3) u^((3)/(2))|_(16)^0)

= 8 pi (16 * 4 - (1)/(3) 4^3)

= 1072

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int int_S^() (x^2 + y^2) d S = 1072

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