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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 49

Determine a área da superfície.

A superfície com equações paramétricas x = u 2 , y = u v , z = 1 2 v 2 , 0 ≤ u ≤ 1 , 0 ≤ v ≤ 2

Passo 1

Temos que a área pode ser calculada da seguinte forma:

A S = ∬ D r u × r v d A

Onde r u = ∂ x ∂ u i + ∂ y ∂ u j + ∂ z ∂ u k e r v = ∂ x ∂ v i + ∂ y ∂ v j + ∂ z ∂ v k , vamos então achar os dois:

∂ x ∂ u = ∂ u 2 ∂ u = 2 u ,                   ∂ y ∂ u = ∂ u v ∂ u = v ,                   ∂ z ∂ u = ∂ 1 2 v 2 ∂ u = 0

∂ x ∂ v = ∂ u 2 ∂ v = 0 ,                 ∂ y ∂ v = ∂ u v ∂ v = u ,                   ∂ z ∂ v = ∂ 1 2 v 2 ∂ v = v

Que nos dá:

r u = 2 u , v , 0

r v = 0 , u , v

Passo 2

Vamos agora calcular r u × r v :

r u × r v = i j k ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ v = i j k 2 u v 0 0 u v = v 2 , - 2 u v , 2 u 2

r u × r v = v 2 2 + - 2 u v 2 + 2 u 2 2 = v 4 + 4 u 2 v 2 + 4 u 4 = v 2 + 2 u 2 2 = v 2 + 2 u 2

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na integral:

A S = ∬ D r u × r v d A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 v 2 + 2 u 2 d v d u = ∫ 0 1 v 3 3 + 2 u 2 v 0 2 d u = ∫ 0 1 8 3 + 4 u 2 d u = 8 3 u + 4 u 3 3 0 1 = 8 3 + 4 3 = 4

Resposta

A S = 4

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