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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 47

Determine a área da superfície.

A parte da superfície y = 4 x + z 2 que está entre os planos x = 0 , x = 1 , z = 0 e z = 1

Passo 1

Para calcular a ára da superfície usamos:

A S = ∬ D 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d A

Temos então que achar ∂ y ∂ x e ∂ y ∂ z , vamos lá:

∂ y ∂ x = ∂ 4 x + z 2 ∂ x = 4

∂ y ∂ z = ∂ 4 x + z 2 ∂ z = 2 z

Passo 2

Temos que:

0 ≤ z ≤ 1 ,   0 ≤ x ≤ 1

Pronto, é só agora substituir na integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 + 4 2 + 2 z 2 d x d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 17 + 4 z 2 d x d z = ∫ 0 1 17 + 4 z 2 x 0 1 d z = ∫ 0 1 17 + 4 z 2 d z = 1 2 z 17 + 4 z 2 + 17 2 ln ⁡ 2 z + 17 + 4 z 2 0 1 = 21 2 + 17 4 ln ⁡ 2 + 21 - ln ⁡ 1 7

Resposta

A S = 21 2 + 17 4 ln ⁡ 2 + 21 - ln ⁡ 17

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