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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 1c

Calcular underset(R)(∬) f (x , y) d x d y , onde:

c) f (x , y) = x cos x y ; R é o retângulo (0 <= x <= 2)/(0 <= y <= (pi)/(2))

Passo 1

Queremos integrar a função f (x , y) = x cos x y na região 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= (pi)/(2) .

Passo 2

Podemos escrever a integral da seguinte forma:

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x cos x y d y d x

Resolvemos primeiro em função de y , pois é mais simples que em função de x .

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x cos x y d y d x = int_0^2 [int_0^((pi)/(2)) x cos x y d y] d x = int_0^2 [(sen x y|_0^((pi)/(2))] d x

Aplicando os limites de integração:

int_0^2 [(sen x y|_0^((pi)/(2))] d x = int_0^2 [sen (x pi)/(2) - sen 0] d x = int_0^2 [sen (x pi)/(2)] d x

Agora resolvemos a integral simples em função de x .

int_0^2 [sen (x pi)/(2)] d x = (- (2)/(pi) cos (x pi)/(2)|_0^2

Aplicando os limites de integração:

(- (2)/(pi) cos (x pi)/(2)|_0^2 = - (2)/(pi) cos (2 pi)/(2) - (- (2)/(pi) cos 0) = (2)/(pi) + (2)/(pi) = (4)/(pi)

Temos então que:

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x cos x y d y d x = (4)/(pi)

Resposta

int_0^2 int_0^((pi)/(2)) x cos x y d y d x = (4)/(pi)

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Se R = - 1,3× [ 0,2 ] , use a soma de Riemann com m = 4 , n = 2 para estimar o valor de ∬ R y 2 - 2 x 2d A . Tome os pontos amostrais como os cantos inferiores esquerdos dos sub-retângulos.
Repita o exercício 15 para a integral∬_R^() cos ( x^4 + y^4 ) d A
Se R = 0,1 × [ 0,1 ] , mostre que 0 ≤ ∬ R sen ⁡ x + y d A ≤ 1 .
Utilize uma calculadora programável ou computador (ou comando-soma de um CAS) para estimar ∬ R e - x 2 - y 2 d A Onde R = 0,1 × 0,1 . Utilize a Regra do Ponto Médio com os seguintes números quadrados
Calcular underset(R)(∬) f (x , y) d x d y , onde:a) f (x , y) = x e^(x y) ; R é o retângulo (1 = x = 3)/(0 = y = 1)