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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 1a

Calcular underset(R)(∬) f (x , y) d x d y , onde:

a) f (x , y) = x e^(x y) ; R é o retângulo (1 <= x <= 3)/(0 <= y <= 1)

Passo 1

Queremos integrar a função f (x , y) = x e^(x y) na região 1 <= x <= 3 e 0 <= y <= 1 .

Passo 2

Podemos escrever a integral da seguinte forma:

int_1^3 int_0^1 x e^(x y) d y d x

Resolvemos primeiro em função de y , pois é mais simples que em função de x .

int_1^3 int_0^1 x e^(x y) d y d x = int_1^3 [int_0^1 x e^(x y) d y] d x = int_1^3 [(e^(x y)|_0^1] d x

Aplicando os limites de integração:

int_1^3 [(e^(x y)|_0^1] d x = int_1^3 [e^x - e^0] d x = int_1^3 [e^x - 1] d x

Agora resolvemos a integral simples em função de x .

int_1^3 [e^x - 1] d x = (e^x - x|_1^3

Aplicando os limites de integração:

(e^x - x|_1^3 = e^3 - 3 - e + 1 = e^3 - e - 2

Temos então que:

int_1^3 int_0^1 x e^(x y) d y d x = e^3 - e - 2

Resposta

int_1^3 int_0^1 x e^(x y) d y d x = e^3 - e - 2

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