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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.6 - Ex. 1b

Calcular underset(R)(∬) f (x , y) d x d y , onde:

b) f (x , y) = y e^(x y) ; R é o retângulo (0 <= x <= 3)/(0 <= y <= 1)

Passo 1

Queremos integrar a função f (x , y) = y e^(x y) na região 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 1 .

Passo 2

Podemos escrever a integral da seguinte forma:

int_0^1 int_0^3 y e^(x y) d x d y

Resolvemos primeiro em função de x , pois é mais simples que em função de y .

int_0^1 int_0^3 y e^(x y) d x d y = int_0^1 [int_0^3 y e^(x y) d x] d y = int_0^1 [(e^(x y)|_0^3] d y

Aplicando os limites de integração:

int_0^1 [(e^(x y)|_0^3] d y = int_0^1 [e^(3 y) - e^0] d y = int_0^1 [e^(3 y) - 1] d y

Agora resolvemos a integral simples em função de y .

int_0^1 [e^(3 y) - 1] d y = ((1)/(3) e^(3 y) - y|_0^1

Aplicando os limites de integração:

((1)/(3) e^(3 y) - y|_0^1 = (1)/(3) e^3 - 1 - (1)/(3) e^0 = (1)/(3) e^3 - 1 - (1)/(3) = (e^3 - 4)/(3)

Temos então que:

int_0^1 int_0^3 y e^(x y) d x d y = (e^3 - 4)/(3)

Resposta

int_0^1 int_0^3 y e^(x y) d x d y = (e^3 - 4)/(3)

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