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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 18c

Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:

c) Círculo centrado em ( 0 ,   a ) de raio a .

Passo 1

Temos que:

x 2 + y 2 ≤ 2 a y

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 2 a r s en ⁡ θ

r ≤ 2 a s en ⁡ θ

Como o círculo está centrado em ( 0 ,   a ) e tem raio igual a a , temos:

0 ≤ r ≤ 2   a sen ⁡ θ

0 ≤ θ ≤ π

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Substituindo na equação dada, obtemos:

∫ 0 π ∫ 0 2 a sen ⁡ θ r 2 ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 2 a sen ⁡ θ r 3   d r = r 4 4

Aplicando os limites:

1 4 16   a 4 sen 4 ⁡ θ - 0 = 4   a 4 se n 4 ⁡ θ

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 4   a 4 sen 4 ⁡ θ d θ = - a 4 se n 3 ⁡ θ ⋅ c o s   θ + 3 a 4 2 θ - 3 a 4 4   s e n   2 θ

Aplicando os limites:

- a 4 0 - 0 + 3 a 4 2 π - 0 - 3 a 4 4 0 - 0 = 3 a 4 π 2

Resposta

3 a 4 π 2

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Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região interior a ambos os círculos r = s e nθ e r = cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R y e xd A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x 2 + y 2 = 25 .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e fora do círculo r = 3 cos ⁡ θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.14. ∬ D xd A Onde D é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 cos ⁡ θ .