Utilize a integral dupla para determinar a área da região.

A região delimitada pela curva r = 4 + 3 cos ⁡ θ .

Passo 1

A questão pede para calcular a área da região delimitada pela cardioide r = 4 + 3 cos ⁡ θ dada em coordenadas polares. Fazendo θ variar de 0 até 2 π , temos que

Assim, como em coordenadas polares d A = r   d r   d θ :

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 + 3 cos ⁡ θ r   d r   d θ

Passo 2

Calculando primeiro a integral em r :

A = 1 2 ∫ 0 2 π 4 + 3 cos ⁡ θ 2   d θ

Note que

4 + 3 cos ⁡ θ 2 = 16 + 24 cos ⁡ θ + 9 cos 2 ⁡ θ = 16 + 24 cos ⁡ θ + 9 2 1 + cos ⁡ 2 θ

Assim,

A = 1 2 ∫ 0 2 π 41 2 + 24 cos ⁡ θ + 9 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 41 4 ⋅ 2 π = 41 π 2

Resposta

41 π 2

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