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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.3 - Ex. 14

Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.

14.

∬ D x   d A

Onde D   é a região no primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2 x .

Passo 1

Fala galera, beleza?

Precisamos calcular a integral como coordenada polar, como a questão pede, e também precisamos encontrar os limites de integração dessa região D através das informações no primeiro quadrante.

Show, né?

Pra começar, vamos lembrar as fórmulas que podemos utilizar nas coordenadas polares:

y = r s e n θ x = r c o s θ x 2 + y 2 = r 2 d A = r   d r   d θ

Olha só, pro primeiro círculo, com a equação:

x 2 + y 2 = 4

Já sabemos que temos um círculo de raio r = 2 centrado na origem:

Agora pro segundo círculo:

x 2 + y 2 = 2 x

Vamos precisar dar uma manipuladinha, saca só:

x 2 - 2 x + y 2 = 0

Vamos acrescentar + 1 - 1 , que não irá atrapalhar em nada:

x 2 - 2 x + 1 - 1 + y 2 = 0

Manipulando, teremos um produto notável:

x - 1 2 - 1 + y 2 = 0

x - 1 2 + y 2 = 1

Vamos ter, então, um círculo centrado em 1,0 de raio 1 :

Como queremos a região no primeiro quadrante que esteja entre esses dois círculos, estamos falando desse vermelhão aqui:

Show! Região D entendida! Bora pras coordenadas polares!

Passo 2

Agora pra descrever a região D em coordenadas polares, temos que achar como que r varia e como que θ varia.

Pô, dando uma boa olhada na região D , vemos que a menor distância radial que a região tem da origem é exatamente a circunferência menor:

E a maior distância radial é justamente 2 , que é o tamanho da circunferência maior:

O intervalo de r será então:

c i r c u n f e r ê n c i a   m e n o r ≤ r ≤ 2

Como a circunferência menor tem essa equação:

x 2 + y 2 = 2 x

E a mudança de coordenadas pras polares é:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

Substituindo, achamos:

r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = 2 r cos ⁡ θ

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ = 2 r cos ⁡ θ

r 2 cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 2 r cos ⁡ θ

r 2 = 2 r cos ⁡ θ

r = 2 cos ⁡ θ

Fechou, o intervalo final será:

2 cos ⁡ θ ≤ r ≤ 2

Agora, pro θ , é o seguinte:

Como definimos ele por ser o intervalo de abertura de determinado ângulo θ que contenha toda a região D , sendo que essa abertura rola no sentido anti-horário partindo do Eixo O x no primeiro quadrante:

O intervalo que contém D inteira é o próprio primeiro quadrante inteiro, logo:

0 ≤ θ ≤ π 2

Passo 3

Agora que sabemos os limites de integração, bora remontar a integral:

∬ D x   d A

Substituindo tudo pelas expressões polares que estão lá em cima, temos que a integral fica:

∫ 0 π 2 ∫ 2 cos ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ ∙ r   d r   d θ

= ∫ 0 π 2 ∫ 2 cos ⁡ θ 2 r 2 cos ⁡ θ   d r   d θ

Partiu integrar!

Passo 4

Vamos começar pela integral de dentro:

∫ 2 cos ⁡ θ 2 r 2 cos ⁡ θ   d r

cos ⁡ θ ∫ 2 cos ⁡ θ 2 r 2   d r

c o s θ ⋅ r 3 3 2 c o s θ 2

= 8 cos ⁡ θ 3 - 8 cos 3 ⁡ θ cos ⁡ θ 3

= 8 cos ⁡ θ - 8 cos ⁡ ( θ ) 4 3

Agora, vamos analisar a integral de fora:

∫ 0 π 2 8 cos ⁡ θ - 8 cos ⁡ θ 4 3 d θ

Colocando 8 em evidência e depois jogando pra fora da integral a fração:

∫ 0 π 2 8 ( cos ⁡ ( θ ) - cos ⁡ θ 4 3 d θ

8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ ( θ ) - cos ⁡ θ 4 d θ

Daqui, poderemos dividir nossa integral em duas:

8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

Vamos resolver logo a nossa primeira integral:

8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ

= 8 3 s e n θ 0 π / 2

8 3 sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 = 8 3

Agora, pra segunda integral, como:

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Vamos ter:

cos 4 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 2

1 + 2 cos ⁡ 2 θ + cos 2 ⁡ 2 θ 4

cos 4 ⁡ θ = 1 + 2 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 4

2 + 4 cos ⁡ 2 θ 2 + 1 + cos ⁡ 4 θ 2 4

cos 4 ⁡ θ = 2 + 4 cos ⁡ 2 θ + 1 + cos ⁡ 4 θ 8

cos 4 ⁡ θ = 3 + 4 cos ⁡ 2 θ + cos ⁡ 4 θ 8

cos 4 ⁡ θ = 3 8 + 4 cos ⁡ 2 θ 8 + cos ⁡ 4 θ 8

A integral fica:

8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

8 3 ∫ 0 π 2 3 8 + 4 cos ⁡ 2 θ 8 + cos ⁡ 4 θ 8 d θ

Podemos dividir nossa segunda integral assim:

8 3 ∫ 0 π 2 3 8 d θ - 8 3 ∫ 0 π 2 4 cos ⁡ 2 θ 8 d θ - 8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 4 θ 8 d θ

∫ 0 π 2 1 d θ - 4 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ d θ - 1 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 4 θ d θ

Resolvendo essas integrais:

θ 0 π 2 - sen ⁡ 2 θ 2 0 π 2 - sen ⁡ 4 θ 4 0 π 2

π 2 - 0 - sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 2 - sen ⁡ 2 π 4 - sen ⁡ 0 4

π 2 - 0 - 0 - 0 - 0 = π 2

Descobrimos o valor da nossa segunda integral, agora unindo a primeira com a segunda teremos:

8 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ d θ - 8 3 ∫ 0 π 2 cos 4 ⁡ θ d θ

= 8 3 - π 2

Resposta

∬ D x   d A = 8 3 - π 2

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Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é o sólido acima do plano x y limitado pelas superficies z = 0 , x + y + z = 1 e x 2 + y 2 = 1 .
Determine o volume dos sólidos W abaixo.W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 25 e x^2 + y^2 = 9}
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superficíces z = 0 , x 2 + y 2 = 2 y e z = x 2 + y 2 .
Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares. ∫ 0 1 ∫ y 2 - y 2 ( x + y )d xd y
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região delimitada pela curva r = 4 + 3 c o sθ .