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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 5g

Usando coordenadas polares, calcular:

g) int_0^2 int_0^y x d x d y

Passo 1

Temos que:

0 <= x <= y

0 <= y <= 2

A representação da região de integração é dada:

Assim:

y <= 2

y^2 <= 4

y^2 + x^2 <= 4 + x^2

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

r^2 <= 4 + r^2 cos^2 theta

r^2 - r^2 cos^2 theta <= 4

r^2 (1 - cos^2 theta) <= 4

r^2 s e n^2 theta <= 4

r^2 <= (4)/(s e n^2 theta)

r <= (2)/(s e n theta)

Desse modo, temos que:

0 <= r <= (2)/(s e n theta)

(pi)/(4) <= theta <= (pi)/(2)

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Então, substituindo na equação dada, temos:

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) int_0^((2)/(s e n theta)) r cos theta * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^((2)/(s e n theta)) r^2 * cos theta d r = (r^3)/(3) cos theta

Aplicando os limites:

((8)/(s e n^3 theta) - 0) (1)/(3) cos theta = (8 cos theta)/(3 s e n^3 theta)

Passo 4

Integrando para theta :

int_((pi)/(4))^((pi)/(2)) (8 cos theta)/(3 s e n^3 theta) d theta = - (4)/(3) csc^2 theta

Aplicando os limites:

- (4)/(3) (1 - 2) = (4)/(3)

Resposta

(4)/(3)

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Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ De - x 2 - y 2d A , onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .
A região dentro do círculo (x - 1)^2 + y^2 = 1 e fora do círculo x^2 + y^2 = 1 .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.A região dentro do círculo r = 1 + cos ⁡ θ e r = 3 cos ⁡ θ .
Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ D xd A Onde D é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 2 .
Descreva a região cuja área é dada pela integral int_0^((pi)/(2)) int_0^(s e n (2 theta)) r d r d theta