Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região interna à circunferência x 2 + y 2 = 4 y e externa à circunferência x 2 + y 2 = 2 y .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

2 y ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 y

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

2 r   s e n   θ ≤ r 2 ≤ 4 r sen ⁡ θ

2   s e n   θ ≤ r ≤ 4 sen ⁡ θ

Desse modo, temos que:

2   s e n   θ ≤ r ≤ 4   s e n   θ

0 ≤   θ ≤ π

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ r 2 ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 2   s e n   θ 4   s e n   θ r 3 d r = r 4 4

Aplicando os limites:

1 4 256   s e n 4   θ - 16   s e n 4   θ = 60   s e n 4   θ  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 60   s e n 4 θ   d θ = - 15   s e n 3   θ ⋅ cos ⁡ θ + 180 8 θ - 90 8 s e n   2 θ

Aplicando os limites:

- 15 ⋅ 0 - 0 + 180 8 ⋅ π - 0 - 90 8 ⋅ 0 - 0 = 180 8 π = 45 2 π    

Resposta

45 2 π

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