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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 9

Calcular ∬ R x 2 + y 2 d x d y , sendo R a região interna à circunferência x 2 + y 2 = 4 y e externa à circunferência x 2 + y 2 = 2 y .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

2 y ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 y

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

2 r   s e n   θ ≤ r 2 ≤ 4 r sen ⁡ θ

2   s e n   θ ≤ r ≤ 4 sen ⁡ θ

Desse modo, temos que:

2   s e n   θ ≤ r ≤ 4   s e n   θ

0 ≤   θ ≤ π

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ r 2 ⋅ r   d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 2   s e n   θ 4   s e n   θ r 3 d r = r 4 4

Aplicando os limites:

1 4 256   s e n 4   θ - 16   s e n 4   θ = 60   s e n 4   θ  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 60   s e n 4 θ   d θ = - 15   s e n 3   θ ⋅ cos ⁡ θ + 180 8 θ - 90 8 s e n   2 θ

Aplicando os limites:

- 15 ⋅ 0 - 0 + 180 8 ⋅ π - 0 - 90 8 ⋅ 0 - 0 = 180 8 π = 45 2 π    

Resposta

45 2 π

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R x + yd A , onde R é a região que está a esquerda do eixo y e entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R a r c t gy xd A , onde R = x , y1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,0 ≤ y ≤ x } .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.Um laço de rosácea r = cos ⁡ 3 θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ De - x 2 - y 2d A , onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .