Calcular ∬_R^() y d x d y , sendo R o círculo x^2 + y^2 - 4 y <= 0 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Assim:

x^2 + y^2 - 4 y <= 0

x^2 + y^2 <= 4 y

Como:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Temos:

r^2 <= 4 r sen theta

r <= 4 sen theta

Desse modo, temos que:

0 <= r <= 4 s e n theta

0 <= theta <= pi

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Substituindo na equação dada, obtemos:

int_0^(pi) int_0^(4 s e n theta) r s e n theta * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^(4 s e n theta) r^2 s e n theta d r = (r^3)/(3) s e n theta

Aplicando os limites:

((64)/(3) s e n^3 theta - 0) s e n theta = (64)/(3) s e n^4 theta

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(pi) (64)/(3) s e n^4 theta d theta = - (16)/(3) s e n^3 theta * cos theta + 8 theta - 4 s e n 2 theta

Aplicando os limites:

- (16)/(3) (0 - 0) + 8 (pi - 0) - 4 (0 - 0) = 8 pi

Resposta

8 pi

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