Calcular ∬ R d x d y , onde R é delimitada pela elipse 4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 . Interpretar geometricamente.

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos uma série de transformações.

1ª Transformação:

( x - 3 ) = u e ( y - 2 ) = v

O jacobiano dessa transformação será igual a 1:

J = 1 0 0 1 = 1

A nova figura será uma elipse centrada na origem:

4 x - 3 2 + y - 2 2 = 4 → 4 u 2 + v 2 = 1 → u 2 + v 2 4 = 1

Passo 3

2ª Transformação:

u = z e v = 2 w

O jacobiano dessa transformação será igual a 2:

J = 1 0 0 2 = 2

A nova figura será um círculo centrado na origem com raio igual a 1:

u 2 + v 2 4 = 1 → z 2 + 2 w 2 4 = 1 → z 2 + w 2 = 1

Passo 4

3ª Transformação;

∬ d x d y = ∬ d u d v = ∬ 2 d z d w = ∬ 2 ⋅ r d r d θ

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 5

Integrando para r :

2 ∫ 0 1 r d r = r 2

Aplicando os limites:

1 - 0 = 1  

Passo 6

Integrando para θ :

∫ 0 2 π d θ = θ

Aplicando os limites:

2 π - 0 = 2 π  

Resposta

2 π

O resultado obtido representa a área delimitada pela elipse.

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