Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 13
Calcular , onde é delimitada pela elipse . Interpretar geometricamente.
Passo 1
A representação gráfica se dá:
Passo 2
Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos uma série de transformações.
1ª Transformação:
e
O jacobiano dessa transformação será igual a 1:
A nova figura será uma elipse centrada na origem:
Passo 3
2ª Transformação:
e
O jacobiano dessa transformação será igual a 2:
A nova figura será um círculo centrado na origem com raio igual a 1:
Passo 4
3ª Transformação;
Passo 5
Integrando para :
Aplicando os limites:
Passo 6
Integrando para :
Aplicando os limites:
Resposta
O resultado obtido representa a área delimitada pela elipse.
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Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R 4 - x 2 - y 2d A , onde R = x , yx 2 + y 2 ≤ 4 ,x ≥ 0 } .