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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.8 - Ex. 14

Calcular ∬_R^() ( 8 - x - y ) d x d y , sendo R delimitada por x^2 + y^2 = 1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Temos:

0 <= r <= 1

0 <= theta <= 2 pi

Passo 2

As coordenadas polares se dão:

x = r cos theta ; y = r s e n theta ; x^2 + y^2 = r^2

Substituindo na equação dada, obtemos:

int_0^(2 pi) int_0^1 ( 8 - r cos theta - r s e n theta ) * r d r d theta

Passo 3

Integrando para r :

int_0^1 ( 8 r - r^2 cos theta - r^2 s e n theta ) d r = 4 r^2 - (r^3)/(3) c o s theta - (r^3)/(3) s e n theta

Aplicando os limites:

4 (1 - 0) - ((1 - 0))/(3) cos theta - ((1 - 0))/(3) s e n theta = 4 - (1)/(3) cos theta - (1)/(3) s e n theta

Passo 4

Integrando para theta :

int_0^(2 pi) ( 4 - (1)/(3) cos theta - (1)/(3) s e n theta ) d theta = 4 theta - (1)/(3) s e n theta + (1)/(3) cos theta

Aplicando os limites:

4 (2 pi - 0) - (1)/(3) (s e n 2 pi - s e n 0) + (1)/(3) ( cos 2 pi - cos 0 ) = 8 pi - 0 + 0 = 8 pi

Resposta

8 pi

O resultado obtido representa o volume de um tronco de cilindro.

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