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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 22

Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:

22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,   5 ,   0 ) ao ponto B ( - 2 ,   5 ,   0 ) .

Passo 1

Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y , z d r →

E a nossa força f → x , y , z pela integral que vemos no enunciado:

∫ C d x + d y + d z

Tiramos que é dada por:

f → x , y , z = ( 1,1 , 1 )

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é a intersecção de duas superfícies.

Passo 2

Vamos analisar a primeira superfície:

y + z = 5

y = 5 - z

E depois, dado que:

z = 4 - x 2

Bora substituir esse valor na nossa primeira equação:

y = 5 - z

y = 5 - ( 4 - x 2 )

y = 1 + x 2

Pronto! Tudo está em função de x agora. A melhor coisa a se fazer então, é chamar esse x de t . Obtemos assim, a seguinte parametrização:

γ t = ( t , 1 + t 2 , 4 - t 2 )

Passo 3

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

f → x , y , z = ( 1,1 , 1 )

Assim, nem precisamos fazer a troca, pois só tem números na nossa função vetorial:

f → x , y , z = ( 1,1 , 1 )

Passo 4

Seguindo nosso raciocínio. O passo número quatro consiste em encontrar o termo d r → fazendo:

d r → = γ ' t d t

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de γ t . Vamos lá:

γ ' ( t ) = ( 1,2 t , - 2 t )

Passo 5

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

∫ C f → x , y , z d r → = ∫ t 1 t 2 f → x , y , z d r →

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Para achar os valores que queremos, basta substituir valores em t e ver quais valores correspondem aos pontos do enunciado. Bora lá:

Para t = 2 :

γ t = ( t , 1 + t 2 , 4 - t 2 )

γ 2 = ( 2,5 , 0 )

Para t = - 2 :

γ t = ( t , 1 + t 2 , 4 - t 2 )

γ - 2 = ( - 2,5 , 0 )

Logo, nosso limite de integração vai de 2   até - 2 :

∫ C f → x , y , z d r → =

= ∫ 2 - 2 ( ( 1,1 , 1 ) ( 1,2 t , - 2 t ) ) d t =

= ∫ 2 - 2 1 + 2 t - 2 t d t = ∫ 2 - 2 1 d t =

= [ t ] 2 - 2 = - 2 - 2

= - 4

Resposta

- 4

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19-22. Calcule a integral de linha ∫ C F ∙ d r , onde C é dada pela função vetorial r ( t ) .20. F x ,y ,z = x + y 2 i + x z j + y + z k ,r t = t 2 i + t 3 j - 2 t k ,0 ≤ t ≤ 2
28- Determine o valor exato de ∫ C F. d r , onde F x , y , z = x 4 e y i + ln ⁡ zj + y 2 + z 2k e C é o segmento de reta entre ( 1,2 , 1 ) a ( 6,4 , 5 ) .
Calcule a integral de linha ∫ C F.d r , onde C é dada pela função vetorial r t . F x ,y = s e nxi + cos ⁡ y j + x zk, r t = t 3i - t 2j + tk,0 ≤ t ≤ 1
Calcular o trabalho realizado pela força f → = ( y , z , x ) para deslocar um partícula ao longo da hélice r → t = cos ⁡ t ,s e nt ,2 t de t = 0 a t = 2 π .