Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 ) .

Enunciado

Bom! Vamos lá pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

E a nossa força pela integral que vemos no enunciado:

Tiramos que é dada por:

Encerrada essa pequena introduçãozinha; vamos pro que realmente interessa.

Olha só! Já sabemos que a primeira coisa que temos que fazer é parametrizar a curva, que no nosso caso, é a intersecção de duas superfícies.

Vamos analisar a primeira superfície:

E depois, dado que:

Bora substituir esse valor na nossa primeira equação:

Pronto! Tudo está em função de agora. A melhor coisa a se fazer então, é chamar esse de . Obtemos assim, a seguinte parametrização:

O próximo passo agora, é justamente mudar a função que nos é fornecida para os termos dessa parametrização que obtivemos.

Onde temos que:

Assim, nem precisamos fazer a troca, pois só tem números na nossa função vetorial:

Seguindo nosso raciocínio. O passo número quatro consiste em encontrar o termo fazendo:

Ou seja, o que temos que fazer é apenas tirar a primeira derivada de . Vamos lá:

Pronto! Só nos resta pegar os três ingredientes que já encontramos e substituir na integral:

Pera! Mas quais são os limites de integração?

Ora bolas! Para achar os valores que queremos, basta substituir valores em e ver quais valores correspondem aos pontos do enunciado. Bora lá:

Para :

Logo, nosso limite de integração vai de até :