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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.1 - Ex. 6

Calcular:

6. int ( 10 root(3)(x^2) ) d x

Passo 1

Essa integral pode amendrontar um pouco, mas ela fica cada vez mais fácil de entender quando lembramos de um conceito básico ligado a radiciação, ele diz que qualquer raiz pode ser escrita em forma de uma exponenciação:

root(n)(x^m) = x^((m)/(n))

Para nosso caso particular temos a seguinte igualdade:

I = int ( 10 root(3)(x^2) ) d x = int (10 . x^((2)/(3))) d x

Passo 2

Para resolução podemos utilizar uma propriedade das itegrais que diz que qual constante dentro de uma integral pode ser colocada para fora multiplicando a integral. Dessa forma simplificamos nossa integral para seguinte forma:

I = int (10 . x^((2)/(3))) d x

I = 10 int (x^((2)/(3))) d x

Passo 3

Agora aplicamos a regra da integral na forma simplificada que encontramos no passo 2.

I = 10 int (x^((2)/(3))) d x

I = 10 ((x^((2)/(3) + 1))/((2)/(3) + 1)) + c

I = 10 ((x)/((5)/(3))^((5)/(3))) + c

OBS: É importantíssimo que o resultando venha sempre acompanhado da soma de uma constante. Essa constante serve para diferenciar essa função primitiva das infinitas que são paralelas a ela.

Resposta

obtemos por fim o seguinte resultado:

I = 6 x^((5)/(3)) + c

Ver Outros Exercícios desse livro

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30.int ( 5 cos x - 4 sin x ) d x
29.int (3 sin t - 2 cos t) d t
34.int ( 3 c s c^2 t - 5 s e c t .tan t ) d t
31. ∫ sin ⁡ x c o s 2 x d x
37. O ponto (3,2) está numa curva e em qualquer ponto (x,y) sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2x-3. Ache uma equação da curva.