Calcule

int_C x^2 d x + y z d y + (y^2 // 2) d z

ao longo do segmento de reta C ligando ( 0,0 , 0 ) a ( 0,3 , 4

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício você vai ter que calcular a integral de linha int_C x^2 d x + y z d y + (y^2)/(2) d z ao longo do seguimento de reta de ( 0,0 , 0 ) a ( 0,3 , 4 ) .Para isso utilize a descrição teórica da página 372 e 373 do seu livro.

Passo 2

Inicialmente você deve encontrar o vetor posição ao longo do caminho de ( 0,0 , 0 ) a ( 0,3 , 4 ) :

[[,vec r,=,vec r_0,+,vec r,(,t,),=,(,0,vec i,+,0,vec j,+,0,vec k,),+,[,(,0,vec i,+,3,vec j,+,4,vec k,),-,(,0,vec i,+,0,vec j,+,0,vec k,),],t,=,t,(,3,vec j,+,4,vec k,)],[,vec r,=,(,3,vec j,+,4,vec k,),t,,,com,0,<=,t,<=,1,.]]

Em seguida, expresse tudo em termos do parâmetro t .Então, você descobrirá que:

x = 0 , y = 3 t , z = 4 t .

Passo 3

Dessa forma, definimos d x = 0 , d y = 3 d t , d z = 4 d t .Assim, ao substituir os novos valores de x , y , z e d x , d y , d z em int_C x^2 d x + y z d y + (y^2)/(2) d z , você vai obter o resultado final:

int_0^1 (12 t^2) 3 d t + ((9 t^2)/(2)) 4 d t = int_0^1 (54 t^2) d t = [18 t^2]_0^1 = 18

Resposta

int_0^1 (12 t^2) 3 d t + ((9 t^2)/(2)) 4 d t = 18

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