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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 1-e

  1. Calcule

e ) int_(gamma)^() (s e n x y + x y cos x y) d x + (x^2 cos x y) d y

Onde gamma (t) = (t^2 - 1 , t^2 + 1) , - 1 <= t <= 1

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = grad varphi

Logo nossa integral de linha fica

int_A^B F * d r = int_A^B grad varphi * d r = varphi (B) - varphi (A)

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

grad xx F = 0

Passo 2

Vamos provar que essa função admite Potencial

Nossa função F (x , y) = (s e n x y + x y cos x y , (x^2 cos x y)) . Quando dizemos que

F = grad varphi

Implica que

F (x , y) = ((d)/(d x) varphi , (d)/(d y) varphi)

Vamos descobrir varphi

(d)/(d y) varphi = (x^2 cos x y)

varphi = x s e n ( x y )

Se derivarmos varphi em relação a x obtemos

(d)/(d x) x s e n (x y) = (s e n x y + x y cos x y)

Que é justamente nossa parte em x da nossa função vetorial, logo nossa Função Potencial é

varphi = x s e n ( x y )

Passo 3

int_A^B F * d r = int_A^B grad varphi * d r = varphi (B) - varphi (A)

Agora só nos resta aplicar os pontos em varphi . O enunciado nos diz

gamma (t) = (t^2 - 1 , t^2 + 1) , - 1 <= t <= 1

Isso quer dizer que

b = (0,2)

a = (0,2)

Eita! OS pontos são iguais. Isso significa que

varphi (B) - varphi (A) = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int_(gamma)^() (s e n x y + x y cos x y) d x + (x^2 cos x y) d y = 0

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