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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.3 - Ex. 8

Nos Exercícios 7-12, encontre uma função potencial ƒ para o campo F

F = ( y + z ) i + ( x + z ) j + ( x + y ) k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos um campo F → como conservativo se F → for um campo gradiente ∇ → f para uma função derivável f . Considerando isso vamos solucionar essa questão.

Passo 2

Seja o campo F → = ( y + z ) i → + ( x + z ) j → + ( x + y ) k → = ∇ → f E ∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → , podemos escrever que:

∂ f ∂ x = y + z , ∂ f ∂ y = x + z , ∂ f ∂ z = x + y

Passo 3

Portanto, você poderá comparar e resolver desta forma. Veja a seguir:Se ∂ f ∂ x = y + z então f = ∫ ( y + z ) d x = ( y + z ) x + g ( y , z ) Se ∂ f ∂ y = x + ∂ g ∂ y = x + z então ∂ g ∂ y = z   g = ∫ ( z ) d y = z y + h ( z ) Se ∂ f ∂ z = x + y + ∂ h ∂ z = x + y então ∂ h ∂ z = 0 e h = C

Passo 4

Com isso encerramos a solução com o resultado encontrado através de:

f ( x , y , z ) = ( y + z ) x + z y + C

Resposta

Resposta nos passos.

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Calcule f )∫ γ - y x 2 + y 2d x + x x 2 + y 2d y Onde γ t: 0,1 → R ² ² é uma curva C 1 por partes com imagem contida no conjunto Ω =x , y ∈ R 2 y0 }∪ x , y ∈ R 2 x0 }\γ ( 0 ) = ( 1,1 )eγ ( 1 ) = (- 1
Calcule b )∫ γ yd x + x 2d y Onde γ é uma curva cuja imagem é o segmento de extremidades (1,1) e (2,2) , orientada de (1,1) para (2,2)
Calcule d ) int_(( - 1,0 ))^(( 1,0 )) (x)/(x^2 + y^2) d x + (y)/(x^2 + y^2) d y
10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,y )≠0 ,0 , ∇Vx ,y ⋅ F x , y0 . Seja γ t = x t ,y t ≠ 0,0 ,t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t e