Nos Exercícios 7-12, encontre uma função potencial ƒ para o campo F

F = (y + z)i + (x + z)j + (x + y)k

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos um campo F → como conservativo se F → for um campo gradiente ∇ → f para uma função derivável f . Considerando isso vamos solucionar essa questão.

Passo 2

Seja o campo F → = ( y + z ) i → + ( x + z ) j → + ( x + y ) k → = ∇ → f E ∇ → f = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k → , podemos escrever que:

∂ f ∂ x = y + z , ∂ f ∂ y = x + z , ∂ f ∂ z = x + y

Passo 3

Portanto, você poderá comparar e resolver desta forma. Veja a seguir:Se ∂ f ∂ x = y + z então f = ∫ ( y + z ) d x = ( y + z ) x + g ( y , z ) Se ∂ f ∂ y = x + ∂ g ∂ y = x + z então ∂ g ∂ y = z   g = ∫ ( z ) d y = z y + h ( z ) Se ∂ f ∂ z = x + y + ∂ h ∂ z = x + y então ∂ h ∂ z = 0 e h = C

Passo 4

Com isso encerramos a solução com o resultado encontrado através de:

f ( x , y , z ) = ( y + z ) x + z y + C

Resposta

Resposta nos passos.

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