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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 1-a

  1. Calcule
  1. int_(( 1,1 ))^(( 2,2 )) y d x + x d y

Passo 1

Estamos no capítulo de campos conservativos. Logo se conseguirmos provar que nossa função F admite uma Função Potencial dessa forma

F = grad varphi

Logo nossa integral de linha fica

int_A^B F * d r = int_A^B grad varphi * d r = varphi (B) - varphi (A)

Quando F admite uma energia potencial, significa que F é independente de caminho logo podemos aplicar a Energia potencial final menos a inicial. Um dos métodos de provar a independência de caminho é

grad xx F = 0

Passo 2

int_(( 1,1 ))^(( 2,2 )) y d x + x d y

Aplicando o grad xx F = 0

Termos que satisfazer

(d Q)/(d x) = (d P)/(d y)

E no nosso caso fica

(d)/(d x) x = (d)/(d y) y

1 = 1

Show!!! Nossa Função admite uma energia potencial

Passo 3

Nossa função F (x , y) = ( y , x ) . Quando dizemos que F = grad varphi

Implica que

F (x , y) = ((d)/(d x) varphi , (d)/(d y) varphi)

Vamos descobrir varphi

(d)/(d x) varphi = y

varphi (x , y) = y x + theta (y)

Agora so temos que descobrir se ao integrar em y se obtemos alguma função exclusivamente dependente de y

(d)/(d y) varphi = x

varphi (x , y) = x y

Como integrando parcialmente em ambos os casos encontramos a mesma função . Logo nosso Energia Potencial é

varphi (x , y) = x y

Passo 4

int_A^B F * d r = int_A^B grad varphi * d r = varphi (B) - varphi (A)

Vamos descobrir o resultado dessa integral de linha

= varphi (B) - varphi (A)

Sendo B = (2,2) e A= (1,1)

= 2 * 2 - 1 * 1

= 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int_(( 1,1 ))^(( 2,2 )) y d x + x d y = 3

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