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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4l

Calcule

int x a r c s e n x d x

Passo 1

Primeiro, começamos a resolver fazendo integração por partes, lembrando que (a r c s e n x)^' = (1)/(sqrt(1 - x^2)) :

int x a r c s e n x d x = (x^2)/(2) a r c s e n x - int (x^2)/(2) * (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = (x^2)/(2) a r c s e n x - (1)/(2) int (x^2)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 2

Agora vamos nos concentrar na integral que restou, tentando fazer a seguinte substituição:

x = cos u

d x = - sen u d u

Então:

int (x^2)/(sqrt(1 - x^2)) d x = int (cos^2 u)/(sqrt(1 - cos^2 u)) (- sen u d u) = - int (cos^2 u sen u)/(sqrt(sen^2 u)) d u = - int cos^2 u d u = - int (1)/(2) (1 + cos 2 u) d u = - (1)/(2) (u + (1)/(2) sen 2 u) + k = - (1)/(2) (u + (1)/(2) * 2 sen u cos u) + k = - (1)/(2) (u + sen u cos u) + k

Passo 3

Com a substituição que fizemos, x = cos u , devemos ter u = arccos x , então vamos substituir de volta:

int (x^2)/(sqrt(1 - x^2)) d x = - (1)/(2) (u + sen u cos u) + k = - (1)/(2) (arccos x + sen (arccos x) x) + k = - (1)/(2) (arccos x + x sqrt(1 - x^2)) + k

Portanto,

int x a r c s e n x d x = (x^2)/(2) a r c s e n x - (1)/(2) int (x^2)/(sqrt(1 - x^2)) d x = (x^2)/(2) a r c s e n x - (1)/(2) [- (1)/(2) (arccos x + x sqrt(1 - x^2)) + k] = (x^2)/(2) arcsen x + (1)/(4) arccos x + (x)/(4) sqrt(1 - x^2) + k

Resposta

int x a r c s e n x d x = (x^2)/(2) arcsen x + (1)/(4) arccos x + (x)/(4) sqrt(1 - x^2) + k

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