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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 9

Calcule

int_0^2 (x^2 + 3 x - 3) d x

Passo 1

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^2 d x , n = 2

int x^1 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((2) + 1))/((2) + 1) = (x^3)/(3)

Vamos tirar a constante:

int 3 x d x = 3 int x d x

Para int x d x , n = 1

3 int x^1 d x = 3 (x^(n + 1))/(n + 1) = 3 (x^((1) + 1))/((1) + 1) = 3 (x^2)/(2)

Vamos tirar a constante:

int 3 d x = 3 int d x

Para int d x = int x^0 d x , n = 0

3 int x^0 d x = 3 (x^(n + 1))/(n + 1) = 3 (x^((0) + 1))/((0) + 1) = 3 x

Passo 2

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: int_0^2 (x^2 + 3 x - 3) d x = [(x^3)/(3)] (2)/(0) + 3 [(x^2)/(2)] (2)/(0) - 3 [x] (2)/(0) =

= (((2)^3)/(3) - ((0))/(3)) + 3 (((2)^2)/(2) - ((0))/(2)) - 3 (2 - 0) =

(8)/(3) + 3 (4)/(2) - 6 = (16 + 3 xx 12 - 6 xx 6)/(6) = ((16 + 36 - 36))/(6) = (16)/(6) = (8)/(3)

Resposta

int_0^2 (x^2 + 3 x - 3) d x = (8)/(3)

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