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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 13

Calcule

int_(- 2)^(- 1) ((1)/(x^2) + x) d x

Passo 1

Vamos começar aplicando a propriedade que diz que a integral da soma é a soma das integrais:

int_(- 2)^(- 1) ((1)/(x^2) + x) d x = int_(- 2)^(- 1) (1)/(x^2) d x + int_(- 2)^(- 1) x d x

Podemos reescrever como sendo:

int_(- 2)^(- 1) (1)/(x^2) d x + int_(- 2)^(- 1) x d x = int_(- 2)^(- 1) x^(- 2) d x + int_(- 2)^(- 1) x d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^(- 2) d x , n = - 2

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((- 2) + 1))/((- 2) + 1) = (x^(- 1))/(- 1) = - x^(- 1) = - (1)/(x)

Para int x d x = int x^1 d x , n = 1

int x d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((1) + 1))/((1) + 1) = (x^2)/(2)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: int_(- 2)^(- 1) ((1)/(x^2) + x) d x = [- (1)/(x)] (- 1)/(- 2) + [(x^2)/(2)] (- 1)/(- 2) =

= - (- (1)/(1) - (- (1)/(2))) + (((- 1)^2)/(2) - ((- 2)^2)/(2)) =

- (- 1 + (1)/(2)) + ((1)/(2) - (4)/(2)) = (1)/(2) - (3)/(2) = - 1

Resposta

int_(- 2)^(- 1) ((1)/(x^2) + x) d x = - 1

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