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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 5b

Determine a equação da reta tangente em p , f p sendo dados

f x = 1 x   e   p = 2

Passo 1

Relembrando a equação da reta tangente :

y - f p = m x - p

Calculando o valor de f p :

f x = 1 x → f p = 1 p → f 2 = 1 2

Nesse caso,

y - 1 2 = m x - 2

Assim, precisamos determinar o m , que é o coeficiente angular da curva no ponto dado. Para isso, vamos usar a equação:

m = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Passo 2

A primeira coisa a ser feita é substituir a função f x na equação acima:

m = lim h → 0 ⁡ 1 x + h - 1 x h

Em seguida, vamos substituir na equação anterior o valor de x = 2 .

m = lim h → 0 ⁡ 1 2 + h - 1 2 h = lim h → 0 ⁡ 2 - 2 + h 2 2 + h h = lim h → 0 ⁡ 2 - 2 + h 2 h 2 + h = lim h → 0 ⁡ - h 2 h 2 + h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ - h 2 h 2 + h = lim h → 0 ⁡ - 1 2 2 + h = - 1 2 2 + 0 = - 1 4

Lembra da equação da tangente que definimos lá em cima, agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 1 2 = m x - 2

y - 1 2 = - 1 4 x - 2

Reescrevendo a equação:

y = - x 4 + 1 2 + 1 2 = - x 4 + 1

Prontinho!!!

Resposta

- x 4 + 1

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Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' 1 = 0 .
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' 0f ' ( 1 ) para todo x .
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' x0 para x1 , f ' x0 para x1 .
Construa uma função f : R → R que seja contínua em R e que seja derivável em todos os pontos, exceto em - 1,0 e 1 .
Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e derivável em R , tal que f ' 0 = 0 e f ' 1 = 0 .