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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 26

Calcule

int_1^0 (x^7 - x + 3) d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_1^0 (x^7 - x + 3) d x = - int_0^1 (x^7 - x + 3) d x = - [int_0^1 x^7 d x - int_0^1 x d x + int_0^1 3 d x]

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^7 d x = int x^7 d x , n = 7

int x^7 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((7) + 1))/(7 + 1) = (x^8)/(8) = (x^8)/(8)

Para int x d x = int x^1 d x , n = 1

int x^1 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((1) + 1))/(1 + 1) = (x^2)/(2)

Para int 3 d x = 3 int x^0 d x , n = 0

3 int x^0 d x = 3 (x^(n + 1))/(n + 1) = 3 (x^((0) + 1))/(0 + 1) = 3 (x^1)/(1) = 3 x

- int_0^1 (x^7 - x + 3) d x = - [(x^8)/(8) - (x^2)/(2) + 3 x]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: - [(x^8)/(8) - (x^2)/(2) + 3 x] (1)/(0) =

= - ((1^8)/(8) - (1^2)/(2) + 3 (1) - ((0^8)/(8) - (0^2)/(2) + 3 (0))) = - ((1 - 4 + 24)/(8)) = - (21)/(8)

Resposta

int_1^0 (x^7 - x + 3) d x = - (21)/(8)

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