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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 21

Calcule

int_1^3 (5 + (1)/(x^2)) d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

int_1^3 (5 + (1)/(x^2)) d x = int_1^3 5 d x + int_1^3 (1)/(x^2) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int (1)/(x^2) d x = int x^(- 2) d x , n = - 2

int x^(- 2) d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^((- 2) + 1))/((- 2) + 1) = (x^(- 1))/(- 1) = - x^(- 1) = - (1)/(x)

Para int d x = int x^0 d x , n = 0

int x^0 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(0 + 1))/((0) + 1) = (x^1)/(1) = x

int_1^3 (5 + (1)/(x^2)) d x = [5 x - (1)/(x)] (3)/(1)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [5 x - (1)/(x)] (3)/(1) =

= (5 (3) - (1)/((3)) - (5 (1) - (1)/((1)))) = (15 - (1)/(3) - 4) = ((45 - 1 - 12)/(3)) = (32)/(3)

Resposta

int_1^3 (5 + (1)/(x^2)) d x = (32)/(3)

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