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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 25

Calcule

int_1^4 (5 x + sqrt(x)) d x

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_1^4 (5 x + sqrt(x)) d x = int_1^4 5 x d x + int_1^4 sqrt(x) d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int sqrt(x) d x = int x^((1)/(2)) d x , n = (1)/(2)

int x^1 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(((1)/(2)) + 1))/((1)/(2) + 1) = (x^((3)/(2)))/((3)/(2)) = (2)/(3) x^((3)/(2))

Para int 5 x d x = 5 int x^1 d x , n = 1

5 int x^1 d x = 5 (x^(n + 1))/(n + 1) = 5 (x^((1) + 1))/(1 + 1) = 5 (x^2)/(2)

int_1^4 (5 x + sqrt(x)) d x = [(5 x^2)/(2) + (2)/(3) x^((3)/(2))]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [(5 x^2)/(2) + (2)/(3) x^((3)/(2))] (4)/(1) =

= ((5 (4)^2)/(2) + (2)/(3) (4)^((3)/(2)) - ((5 (1)^2)/(2) + (2)/(3) (1)^((3)/(2)))) =

(5 (8) + (2)/(3) (2^2)^((3)/(2)) - ((5)/(2) + (2)/(3))) =

(40 + (2)/(3) (2)^3 - ((15 + 4))/(6)) =

(40 + (2)/(3) xx 8 - (19)/(6)) = ((240 + 32 - 19)/(6)) = (253)/(6)

Resposta

int_1^4 (5 x + sqrt(x)) d x = (253)/(6)

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