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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 47

Calcule

int_0^((1)/(2)) ((1)/(sqrt(1 - x^2))) d x

Passo 1

Para fazer essa questão precisamos usar o método chamado de substituição trigonométrica:

Vamos fazer assim, primeiro identificamos uma equação que tenha alguma raíz com essa cara:

sqrt(a^2 - x^2)

E montamos um triângulo tal que o cateto adjacente a um ângulo theta seja sqrt(a^2 - x^2) e o oposto seja x e a hipotenusa seja a

Pro nosso caso a = 1 , daí substituímos nas seguintes relações:

sin theta = x -> cos theta d theta = d x e cos theta = sqrt(1 - x^2)

sin^(- 1) ((1)/(2)) = (pi)/(6) e sin^(- 1) (0) = 0

Assim ficamos com:

int_0^((1)/(2)) ((1)/(sqrt(1 - x^2))) d x = int_0^((pi)/(6)) (1)/(cos theta) cos theta d theta = int_0^((pi)/(6)) d theta

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int theta^n d x = (theta^(n + 1))/(n + 1)

Para int d theta = 3 int theta^0 d theta , n = 0

int theta^0 d theta = (theta^(n + 1))/(n + 1) = (theta^((0) + 1))/((0) + 1) = (theta^1)/(1) = theta

int_0^((pi)/(6)) d theta = [ theta ] ((pi)/(6))/(0)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (theta) uma primitiva de f (theta) , então:

int_a^b f (theta) d theta = F (b) - F (a)

Assim: [theta] ((pi)/(6))/(0) =

= ((pi)/(6) - 0) = (pi)/(6)

Resposta

int_0^((1)/(2)) ((1)/(sqrt(1 - x^2))) d x = (pi)/(6)

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