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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 4

Calcule

int_(- 2)^1 (x^2 - 1) d x

Passo 1

Primeiro precisamos lembrar de algumas propriedades da integral:

Precisamos usar a propriedade da soma

int_(- 2)^1 (x^2 - 1) d x = int_(- 2)^1 x^2 d x - int_(- 2)^1 d x

Passo 2

Agora só precisamos lembrar que a integral do polinômio é:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int x^2 d x , assim, n = 2

int x^2 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(2 + 1))/(2 + 1) = (x^3)/(3)

Para int d x = int x^0 d x , n = 0

int x^0 d x = (x^(n + 1))/(n + 1) = (x^(0 + 1))/(0 + 1) = x

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: int_(- 2)^1 (x^2 - 1) d x = int_(- 2)^1 x^2 d x - int_(- 2)^1 d x = [(x^3)/(3)] (1)/(- 2) - [x] (1)/(- 2)

= ((1^3)/(3) - ((- 2)^3)/(3)) - (1 - (- 2)) =

= ((1 - (- 8))/(3)) - (1 + 2) =

= ((9)/(3)) - (3) = 3 - 3 = 0

Resposta

int_(- 2)^1 (x^2 - 1) d x = 0

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