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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 31

Calcule

int_0^2 (t^2 + 3 t - 1) d t

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_0^2 (t^2 + 3 t - 1) d t = int_0^2 t^2 d t + int_0^2 3 t d t - int_0^1 d t

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int t^n d t = (t^(n + 1))/(n + 1)

Para int t^2 d t , n = 2

int t^2 d t = (t^(n + 1))/(n + 1) = (t^(2 + 1))/(2 + 1) = (t^3)/(3)

Para int 3 t d t = 3 int t^1 d t , n = 1

3 int t^1 d t = (t^(n + 1))/(n + 1) = 3 (t^((1) + 1))/(1 + 1) = 3 (t^2)/(2) = (3)/(2) t^2

Para int 1 d t = int t^0 d t , n = 0

int t^0 d x = (t^(n + 1))/(n + 1) = (t^((0) + 1))/(0 + 1) = (t^1)/(1) = t

int_0^2 (t^2 + 3 t - 1) d t = [(t^3)/(3) + (3)/(2) t^2 - t]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (t) uma primitiva de f (t) , então:

int_a^b f (t) d t = F (b) - F (a)

Assim: [(t^3)/(3) + (3)/(2) t^2 - t] (2)/(0) =

= (((2)^3)/(3) + (3)/(2) (2)^2 - (2) - ((0^3)/(3) - (3)/(2) (0)^2 + (0))) = ((8)/(3) + (3)/(2) xx 4 - 2) = ((8)/(3) + 3 xx 2 - 2) =

= ((8 + 12)/(3)) = ((20)/(3))

Resposta

int_0^2 (t^2 + 3 t - 1) d t = (20)/(3)

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