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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 34

Calcule

int_0^3 (u^2 - 2 u + 3) d u

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_0^3 (u^2 - 2 u + 3) d u = int_0^3 u^2 d u - int_0^3 2 u d u + int_0^3 3 d u

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1)

Para int u^2 d s , n = 2

int u^2 d u = (u^(n + 1))/(n + 1) = (u^(2 + 1))/(2 + 1) = (u^3)/(3)

Para int 2 u d u = 2 int u^1 d u , n = 1

2 int u^1 d u = 2 (u^(n + 1))/(n + 1) = 2 (u^(1 + 1))/(1 + 1) = 2 (u^2)/(2) = u^2

Para int 3 d u = 3 int u^0 d u , n = 0

3 int u^0 d u = 3 (u^(n + 1))/(n + 1) = 3 (u^(0 + 1))/(0 + 1) = 3 (u^1)/(1) = 3 u

int_0^3 (u^2 - 2 u + 3) d u = [(u^3)/(3) - u^2 + 3 u]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (u) uma primitiva de f (u) , então:

int_a^b f (u) d u = F (b) - F (a)

Assim: [(u^3)/(3) - u^2 + 3 u] (3)/(0) =

= (((3)^3)/(3) - (3)^2 + 3 (3) - (((0)^3)/(3) - (0)^2 + 3 (0))) = (9 - 9 + 9) = 9

Resposta

int_0^3 (u^2 - 2 u + 3) d u = 9

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