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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 40

Calcule

int_(- pi)^0 sin 3 x d x

Passo 1

Primeiro faremos uma substituição tal que 3 x = u -> 3 d x = d u -> d x = (d u)/(3)

E que 3 (0) = 0 e 3 (- pi) = - 3 pi

int_(- pi)^0 sin 3 x d x = (1)/(3) int_(- 3 pi)^0 sin u d u

Passo 2

Vamos agora lembrar que se:

(d (cos u))/(d u) = - sin u -> int sin u d u = - cos u

Assim:

(1)/(3) int_(- 3 pi)^0 sin u d u = - (1)/(3) [cos u] (0)/(- 3 pi)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: - (1)/(3) [cos u] (0)/(- 3 pi) =

= - (1)/(3) (cos (0) - (cos (- 3 pi))) =

Lembrando que cos ( - 3 pi ) = cos (pi) = - 1

= - (1)/(3) (1 - (- 1)) = - (1)/(3) (2) = - (2)/(3)

Resposta

int_(- pi)^0 sin 3 x d x = - (2)/(3)

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