Calcule

∫ - π 3 π 2 cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Primeiro faremos uma substituição tal que 2 x = u → 2 d x = d u → d x = d u 2

E que 2 π 2 = π   e   2 - π 3 = - 2 π 3

∫ - π 3 π 2 cos ⁡ 2 x d x = 1 2 ∫ - 2 π 3 π cos ⁡ u d u

Passo 2

Vamos agora lembrar que se:

d sin ⁡ u d u = cos ⁡ u → ∫ cos ⁡ u d u = sin ⁡ u

Assim:

1 2 ∫ - 2 π 3 π cos ⁡ u d u = 1 2 sin ⁡ u π - 2 π 3

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: 1 2 sin ⁡ u π - 2 π 3 =

= 1 2 sin ⁡ π - sin ⁡ - 2 π 3 =

= 1 2 0 - - 3 2 = 1 2 3 2 = 3 4

Resposta

∫ - π 3 π 2 cos ⁡ 2 x d x = 3 4

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