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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 39

Calcule

int_(- (pi)/(3))^((pi)/(2)) cos 2 x d x

Passo 1

Primeiro faremos uma substituição tal que 2 x = u -> 2 d x = d u -> d x = (d u)/(2)

E que 2 ((pi)/(2)) = pi e 2 (- (pi)/(3)) = - (2 pi)/(3)

int_(- (pi)/(3))^((pi)/(2)) cos 2 x d x = (1)/(2) int_(- (2 pi)/(3))^(pi) cos u d u

Passo 2

Vamos agora lembrar que se:

(d (sin u))/(d u) = cos u -> int cos u d u = sin u

Assim:

(1)/(2) int_(- (2 pi)/(3))^(pi) cos u d u = (1)/(2) [sin u] (pi)/(- (2 pi)/(3))

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: (1)/(2) [sin u] (pi)/(- (2 pi)/(3)) =

= (1)/(2) (sin (pi) - (sin (- (2 pi)/(3)))) =

= (1)/(2) (0 - (- (sqrt(3))/(2))) = (1)/(2) ((sqrt(3))/(2)) = (sqrt(3))/(4)

Resposta

int_(- (pi)/(3))^((pi)/(2)) cos 2 x d x = (sqrt(3))/(4)

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∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 . cos ⁡ 2 x d x
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