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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 35

Calcule

int_1^2 (s^2 + 3 s + 1) d s

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_1^2 (s^2 + 3 s + 1) d s = int_1^2 s^2 d s + int_1^2 3 s d s + int_1^2 d s

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int s^n d s = (s^(n + 1))/(n + 1)

Para int s^2 d s , n = 2

int s^2 d s = (s^(n + 1))/(n + 1) = (s^(2 + 1))/(2 + 1) = (s^3)/(3)

Para int 3 s d s = 3 int s^1 d s , n = 1

3 int s^1 d s = 3 (s^(n + 1))/(n + 1) = 3 (s^(1 + 1))/(1 + 1) = 3 (s^2)/(2) = (3)/(2) s^2

Para int d s = int s^0 d s , n = 0

int s^0 d s = (s^(n + 1))/(n + 1) = (s^(0 + 1))/(0 + 1) = s^1 = s

int_1^2 (s^2 + 3 s + 1) d s = [(s^3)/(3) + (3)/(2) s^2 + s]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (s) uma primitiva de f (s) , então:

int_a^b f (s) d s = F (b) - F (a)

Assim: [(s^3)/(3) + (3)/(2) s^2 + s] (2)/(1) =

= (((2)^3)/(3) + (3)/(2) (2)^2 + ( 2 ) - (((1)^3)/(3) + (3)/(2) (1)^2 + (1))) = ((8)/(3) + (3)/(2) xx 4 + 2 - ((1)/(3) + (3)/(2) + 1)) =

= ((8 + 18 + 6)/(3) - ((2 + 9 + 6)/(6))) = ((32)/(3) - (17)/(6)) = (64 - 17)/(6) = (47)/(6)

Resposta

int_1^2 (s^2 + 3 s + 1) d s = (47)/(6)

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