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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 6i

6. Calcule

i ) int ( 5 + s e n 3 x )^2 d x

Passo 1

Primeiro, precisamos fazer a distributiva agora, sendo da forma (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2

int ( 5 + s e n 3 x )^2 d x = int (5^2 + 2 * 5 * sin 3 x + sin^2 3 x) d x =

int (25 + 10 sin 3 x + sin^2 3 x) d x

Passo 2

Sabemos que pela identidade trigonométrica que sin^2 alpha = (1)/(2) - (cos 2 a)/(2) . Então,

int (25 + 10 sin 3 x + sin^2 3 x) d x = int [25 + 10 sin 3 x + ((1)/(2) - (cos ( 2 * 3 x ))/(2))] d x =

int (25 + 10 sin 3 x + (1)/(2) - (cos 6 x)/(2)) d x = int ((51)/(2) + 10 sin 3 x - (cos 6 x)/(2)) d x

Passo 3

É necessário lembrar que int c d x = c x + k , int cos alpha x d x = (1)/(alpha) sin alpha x + k

e int sin alpha x d x = - (1)/(alpha) cos alpha x + k . Sendo c , a e k constantes.

int ((51)/(2) + 10 sin 3 x - (cos 6 x)/(2)) d x = (51)/(2) x - (10)/(3) c o s 3 x - (1)/(6) * (1)/(2) sin 6 x + k =

(51)/(2) x - (10)/(3) cos 3 x - (1)/(12) sin 6 x + k

Resposta

Portanto, temos que

int ( 5 + s e n 3 x )^2 d x = (51)/(2) x - (10)/(3) cos 3 x - (1)/(12) sin 6 x + k

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