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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.1 - Ex. 10a

10. Calcule

a)

int t g (x) d x

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = int t g (x) d x

Como t g (x) = s e n ( x ) // cos (x) :

I = int (s e n (x))/(cos (x)) d x

Passo 2

A ideia aqui vai ser fazer uma substituição de variável, vamos chamar o denominador de u . Olha só:

u = cos (x)

Derivando,

d u = - s e n (x) d x

Nossa integral era:

I = int (s e n (x))/(cos (x)) d x

E vai ficar o seguinte:

I = int - (d u)/(u) = - int (d u)/(u)

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln | x | + k

Passo 3

Integrando, temos:

I = - ln |u| + k

Voltando para variável x :

u = cos (x)

Portanto,

I = - ln |cos (x)| + k

Resposta

int t g (x) d x = - ln |cos (x)| + k

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