Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.3 - Ex. 69
Use o método no Exemplo 4a para calcular as integrais definidas nos Exercícios 63-70.
69.
Passo 1
Então pessoal, para estimarmos o valor dessa integral definida como um limite de uma soma de Riemann, precisamos, assim como discutido na seção 3 do George, definir partições que subdividem o intervalo em subintervalos de largura igual a:
Se fizermos as partições, teremos:
Sendo assim, temos:
Passo 2
Agora que já descobrimos as partições e o valor de , basta substituirmos na soma de Riemann, que é a seguinte:
Substituindo os valores encontrados, teremos:
Agora o que temos é apenas álgebra, galera! É preciso tomar muito cuidado para não errarmos nenhum passo aqui, ok? Bora lá!
A somatória dos primeiros números naturais positivos é:
Além disso, a somatória dos quadrados dos primeiros números naturais positivos é:
E, por fim, a somatória dos cubos dos primeiros números naturais positivos é:
Substituindo esses valores na somatória, teremos:
Passo 3
Agora que determinamos o valor da somatória, temos que à medida que e , a expressão da somatória tem o seguinte limite:
Note, galera, que a conta só se tornou grande devido às operações elementares da matemática mesmo, como os produtos notáveis, as simplificações e as evidências. Fora o tamanho, a formulação da questão não foi tããão difícil assim, não é mesmo? Mais algumas questões e aposto que você ficará craque!