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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8h

8. Calcule

h ) int (2 x - 3)/(1 + 4 x^2) d x

Passo 1

Para facilitar, precisamos separar essa integral em duas partes

int (2 x - 3)/(1 + 4 x^2) d x = int ((2 x)/(1 + 4 x^2) - (3)/(1 + 4 x^2)) d x = int (2 x)/(1 + 4 x^2) d x - int (3)/(1 + 4 x^2) d x

Passo 2

Vamos começar pela primeira integral

int (2 x)/(1 + 4 x^2) d x = 2 int (x)/(1 + 4 x^2) d x

Podemos ver que se derivarmos o denominador, teremos algo parecido com o numerador, faremos então

u = 1 + 4 x^2 => d u = 8 x d x => x d x = (d u)/(8)

Substituindo na integral,

2 int (x)/(1 + 4 x^2) d x = 2 int (1)/(u) (d u)/(8) = (1)/(4) int (1)/(u) d u

Lembrando que int (1)/(x) d x = l n |x| + k

(1)/(4) int (1)/(u) d u = (1)/(4) ln |u| + k = (1)/(4) ln |1 + 4 x^2| + k

Como 1 + 4 x^2 >= 0 , podemos tirar o módulo

(1)/(4) ln |1 + 4 x^2| + k = (1)/(4) ln ( 1 + 4 x^2 ) + k

Passo 3

Para a outra integral, podemos ver que ela é parecida com int (1)/(1 + x^2) d x = tan^(- 1) x + k . Vamos arrumar ela de forma a ficar ainda mais parecida

int (3)/(1 + 4 x^2) d x = 3 int (1)/(1 + 4 x^2) d x = 3 int (1)/(1 + ( 2 x )^2) d x

Para melhorar, faremos u = 2 x => d u = 2 d x => d x = (d u)/(2) . Substituindo:

3 int (1)/(1 + (2 x)^2) d x = 3 int (1)/(1 + u^2) (d u)/(2) = (3)/(2) int (1)/(1 + u^2) d u = (3)/(2) tan^(- 1) u + k = (3)/(2) tan^(- 1) 2 x + k

Passo 4

Substituindo os valores encontrados

int (2 x)/(1 + 4 x^2) d x - int (3)/(1 + 4 x^2) d x = (1)/(4) ln (1 + 4 x^2) - (3)/(2) tan^(- 1) 2 x + k

Resposta

Portanto,

int (2 x - 3)/(1 + 4 x^2) d x = (1)/(4) ln (1 + 4 x^2) - (3)/(2) tan^(- 1) 2 x + k

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