3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

p )   ∫ 1 3 cos ⁡ 3 x - 1 7 sin ⁡ 7 x   d x

Passo 1

Vamos separar essa integral em duas, isso por conta de termos uma soma

∫ 1 3 cos ⁡ 3 x   d x -   ∫ 1 7 sin ⁡ 7 x   d x  

Passo 2

Agora, temos duas primitivas imediatas dadas por ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k e ∫ sin ⁡ α x   d x =   - 1 α cos ⁡ α x + k , onde k é uma constante. Logo,

∫ 1 3 cos ⁡ 3 x   d x -   ∫ 1 7 sin ⁡ 7 x   d x   = 1 3 * 1 3 sin ⁡ 3 x - - 1 7 * 1 7 cos ⁡ 7 x + k = 1 9 sin ⁡ 3 x + 1 49 cos ⁡ 7 x + k

Passo 3

Sabemos que as derivadas de cosseno e seno são dadas por ( cos ⁡ u ) ' = - u ' sin ⁡ u e ( sin ⁡ u ) ' = u ' cos ⁡ u   . Então, derivando o resultado encontrado:

1 9 sin ⁡ 3 x + 1 49 cos ⁡ 7 x + k ' =   3 1 9 cos ⁡ 3 x - 7 1 49 sin ⁡ 7 x + 0 = 1 3 cos ⁡ 3 x - 1 7 sin ⁡ 7 x  

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, a resposta é

∫ 1 3 cos ⁡ 3 x - 1 7 sin ⁡ 7 x   d x =   1 9 sin ⁡ 3 x + 1 49 cos ⁡ 7 x + k

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