Calcule.

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor - 1 na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

0 0

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos um polinômio do terceiro grau, da seguinte forma a 3 + b ³ , então podemos usar a seguinte fórmula:

a 3 + b 3 = ( a 2 - a . b + b 2 ) ( a + b )

Assim temos a = x e b = 1 :

x 3 + 1 3 = x 2 - x . 1 + 1 2 x + 1 = ( x 2 - x + 1 ) ( x + 1 )

Resultando no limite:

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1 = lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 x + 1 x 2 - 1

Passo 3

No denominador temos um polinômio do segundo grau, da seguinte forma x 2 - 1 , então podemos usar a seguinte fórmula e achar o valor de a e b :

a 2 - b 2 = a + b a - b

De cara sabemos que a = x e b = 1 , assim vamos ficar com:

a 2 - b 2 = a + b a - b → x 2 - 1 = x + 1 x - 1

Vamos ter então o limite:

lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 x + 1 x 2 - 1 = lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 x + 1 x + 1 x - 1

Passo 4

Agora temos o limite da seguinte forma:

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1 = lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 x + 1 x + 1 x - 1

Podemos simplificar eliminando a expressão x + 1 que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então vamos lá:

lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 x + 1 x + 1 x - 1 = lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 x - 1

Passo 5

Agora é só substituir o valor - 1 na expressão, e pronto, tudo resolvido.

lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 x - 1 =   - 1 2 - - 1 + 1 - 1 - 1 = 1 + 1 + 1 - 2 = - 3 2

Resposta

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x 2 - 1 = - 3 2

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