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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 10l

10. Calcule

l ) int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x

Passo 1

Podemos perceber que essa integral se assemelha com a integral imediata int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = sin^(- 1) x + k . No entanto, precisamos fazer alguns ajustes.

Primeiro, vamos fazer o termo 4 se tornar o 1.

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = int ((1)/(sqrt(4)))/((sqrt(4 - x^2))/(sqrt(4))) d x = (1)/(sqrt(4)) int (1)/(sqrt((4 - x^2)/(4))) d x = (1)/(2) int (1)/(sqrt(1 - (x^2)/(4))) d x

= (1)/(2) int (1)/(sqrt(1 - ((x)/(2))^2)) d x

Passo 2

Para melhorar, faremos

u = (x)/(2) => d u = (d x)/(2) => d x = 2 d u

Substituindo na integral

(1)/(2) int (1)/(sqrt(1 - ((x)/(2))^2)) d x = (1)/(2) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) 2 d u = (2)/(2) int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u = int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 3

Resolvendo essa integral imediata

int (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u = sin^(- 1) u + k = sin^(- 1) ((x)/(2)) + k

Resposta

Logo,

int (1)/(sqrt(4 - x^2)) d x = sin^(- 1) ((x)/(2)) + k

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