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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1f

1. Calcule

d ) int x^2 ln x d x

Passo 1

Aqui, podemos ver a multiplicação de duas funções, para resolver essa integral precisamos usar a integração por partes, que é dada por

int u d v = u v - int v d u

Onde o u será escolhido através de uma regrinha conhecida como LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial), nessa ordem de preferência. A outra função será o nosso d v .

Passo 2

Pela regrinha do LIATE, a função logarítmica deve ter preferência em ser u comparada à função algébrica, que é o nosso caso. Agora, derivando u e integrando o d v .

u = ln x => d u = (1)/(x) d x

d v = x^2 d x => v = (x^3)/(3)

Passo 3

Vamos substituir esses valores,

int u d v = u v - int v d u

int x ln x d x = ln x ((x^3)/(3)) - int (x^3)/(3) ((1)/(x) d x)

= (x^3 ln x)/(3) - (1)/(3) int x^2 d x = (x^3 ln x)/(3) - (1)/(3) ((1)/(3) x^3) + k

= (x^3 ln x)/(3) - (x^3)/(9) + k = (x^3)/(3) (ln x - (1)/(3)) + k

Resposta

Portanto,

int x^2 ln x d x = (x^3)/(3) (ln x - (1)/(3)) + k

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