1. Calcule

d )   ∫ x 2 ln ⁡ x   d x

Passo 1

Aqui, podemos ver a multiplicação de duas funções, para resolver essa integral precisamos usar a integração por partes, que é dada por

∫ u   d v = u v -   ∫ v d u

Onde o u será escolhido através de uma regrinha conhecida como LIATE (Logarítmicas, Inversas de Trigonométricas, Algébrica, Trigonométrica e Exponencial), nessa ordem de preferência. A outra função será o nosso d v .

Passo 2

Pela regrinha do LIATE, a função logarítmica deve ter preferência em ser u comparada à função algébrica, que é o nosso caso. Agora, derivando u e integrando o d v .

u = ln ⁡ x   ⇒ d u = 1 x   d x

d v = x 2 d x   ⇒ v = x 3 3

Passo 3

Vamos substituir esses valores,

∫ u   d v = u v -   ∫ v d u

∫ x ln ⁡ x   d x = ln ⁡ x x 3 3 - ∫ x 3 3 1 x d x

= x 3 ln ⁡ x 3 - 1 3 ∫ x 2   d x =   x 3 ln ⁡ x 3 - 1 3 1 3 x 3 + k  

= x 3 ln ⁡ x 3 - x 3 9 + k = x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 + k

Resposta

Portanto,

∫ x 2 ln ⁡ x   d x =   x 3 3 ln ⁡ x - 1 3 + k

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