Determine soluções da equação dy/dx = (y - 3x) / x . (sugestão: Olhe para o exercício 12)

Passo 1

Primeiro vamos fazer o seguinte:

d y d x = y - 3 x x → d y d x = 1 x 1 x × y - 3 x x

Vamos ficar com:

d y d x = y x - 3 1 = y x - 3

Passo 2

Se sabemos que u = y x → y = x u , assim:

d y d x = y x - 3 → d x u d x = u - 3

Para d u x d x , vamos aplicar a derivada do produto:

d u x d x = x d u d x + u

Substituindo:

d u x d x = u - 3 → x d u d x + u = u - 3

Passo 3

Agora é só álbebra:

x d u d x + u = u - 3

x d u d x = u - 3 - u

x d u d x = - 3

Agora é só jogar o x   pro outro lado dividindo:

d u d x = - 3 x

Passo 4

Essa equação parece mais propícia pra integrar do que a inicial que tinha soma de variáveis diferentes, agora que temos multiplicações entre diferentes variáveis vamos fazer assim:

d u d x = - 3 x

Jogamos pra cada lado o que é referente a cada variável:

d u = - 3 x d x

Agora é só integrar:

∫ d u = ∫ - 3 x d x

u + c 2 = - 3 ln ⁡ x + c 1

Para tirar essa soma, vamos fazer que   ln ⁡ k = c 1 - c 2  

u = - 3 ln ⁡ x + ln ⁡ k

u = ln ⁡ k x - 3

Voltando pra variável y :

y x = ln ⁡ k x - 3

Por fim:

y = x ln ⁡ k x - 3

Resposta

y = x ln ⁡ k x - 3

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