Calcule.

∫ x 2 x + 1 10 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra. Agora vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = x + 1 → x = u - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Fazendo a substituição:

∫ x 2 x + 1 10 d x = ∫ u - 1 2 u 10 d u

Agora vamos expandir o termo u - 1 2 :

∫ u - 1 2 u 10 d u = ∫ u 2 - 2 u + 1 u 10 d u = ∫ u 2 + 10 - 2 u 1 + 10 + u 10 d u = ∫ u 12 - 2 u 11 + u 10 d u

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ u 12 - 2 u 11 + u 10 d u = ∫ u 12 d u + ∫ - 2 u 11 d u + ∫ u 10 d u

Resolvendo cada uma separadamente:

∫ u 12 d u = u 12 + 1 12 + 1 = u 13 13

∫ - 2 u 11 d u = - 2 ∫ u 11 d u = - 2 u 11 + 1 11 + 1 = - 2 u 12 12 = - u 12 6

∫ u 10 d u = u 10 + 1 10 + 1 = u 11 11

Vamos agora juntar:

∫ u 12 d u + ∫ - 2 u 11 d u + ∫ u 10 d u = u 13 13 - u 12 6 + u 11 11 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

∫ x 2 x + 1 10 d x = u 13 13 - u 12 6 + u 11 11 + C = x + 1 13 13 - x + 1 12 6 + x + 1 11 11 + C

Resposta

∫ x 2 x + 1 10 d x = x + 1 13 13 - x + 1 12 6 + x + 1 11 11 + C

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