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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4a

Calcule.

int x^2 (x + 1)^(10) d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos à obra. Agora vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vamos lá:

u = x + 1 -> x = u - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição:

int x^2 (x + 1)^(10) d x = int (u - 1)^2 u^(10) d u

Agora vamos expandir o termo (u - 1)^2 :

int (u - 1)^2 u^(10) d u = int (u^2 - 2 u + 1) u^(10) d u = int u^(2 + 10) - 2 u^(1 + 10) + u^(10) d u = int u^(12) - 2 u^(11) + u^(10) d u

Passo 2

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando essas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int u^(12) - 2 u^(11) + u^(10) d u = int u^(12) d u + int - 2 u^(11) d u + int u^(10) d u

Resolvendo cada uma separadamente:

int u^(12) d u = (u^(12 + 1))/(12 + 1) = (u^(13))/(13)

int - 2 u^(11) d u = - 2 int u^(11) d u = - 2 (u^(11 + 1))/(11 + 1) = - 2 (u^(12))/(12) = - (u^(12))/(6)

int u^(10) d u = (u^(10 + 1))/(10 + 1) = (u^(11))/(11)

Vamos agora juntar:

int u^(12) d u + int - 2 u^(11) d u + int u^(10) d u = (u^(13))/(13) - (u^(12))/(6) + (u^(11))/(11) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você foi usando no começo:

int x^2 (x + 1)^(10) d x = (u^(13))/(13) - (u^(12))/(6) + (u^(11))/(11) + C = ((x + 1)^(13))/(13) - ((x + 1)^(12))/(6) + ((x + 1)^(11))/(11) + C

Resposta

int x^2 (x + 1)^(10) d x = ((x + 1)^(13))/(13) - ((x + 1)^(12))/(6) + ((x + 1)^(11))/(11) + C

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