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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 1f

Determine a derivada.

f) y = a r c s e n ( e^x )

Passo 1

Beleza, pessoal? Se liga aqui, a gente tem a função a r c s e n , que é a inversa da função seno, e “dentro” dela uma função exponencial, e^x . Quando temos uma composição de funções que nem aqui, nós usamos a regra da cadeia!

Então nossa derivada ficará assim:

y^' = (a r c s e n (e^x))^' (e^x) '

Vamos relembrar a derivada de a r c s e n ( x ) , que é o mais diferente. Como vimos lá na teoria:

(a r c s e n x)^' = (1)/(sqrt(1 - x^2))

Além disso, vai ser importante lembrar a derivada da função exponencial:

(e^x)^' = e^x

Agora vamos juntar tudo!

Passo 2

Agora que já sabemos cada pedacinho, bora pra conta!

y ' = [a r c s e n (e^x)]^'

Pela regra da cadeia:

y ' = [(1)/(sqrt(1 - e^(2 x)))] e^x

Portanto,

y ' = (e^x)/(sqrt(1 - e^(2 x)))

Resposta

y ' = (e^x)/(sqrt(1 - e^(2 x)))

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