Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 1
Calcule:
Passo 1
Para resolvermos essa questão usaremos o seguinte teorema e, também, método de resolução de integrais, muito conhecido como Frações Parciais:
Sejam reais dados, com . Então existem constantes tais que:
Atenção: o Teorema só é válido para quando o grau do numerador é MENOR do que o grau do denominador!!!
Para resolver nossa questão, precisaremos lembrar de uma grande técnica algébrica que vai nos ajudar MUITO em questões que envolvam integrais que é a seguinte:
Portanto, como temos .
Então, nossa integral pode ser reescrita como:
Agora, podemos aplicar o teorema:
Aplicando o MMC, passamos a ter:
Como temos uma igualdade com denominadores iguais, vamos analisar, por comparação, apenas os numeradores:
Vamos ditar valores para para que consigamos zerar uma constante e trabalhar com apenas uma incógnita:
Para :
Para :
Então, por fim, podemos reescrever nossa integral final como sendo:
Passo 2
Vamos resolver separadamente as integrais:
Lembrando:
Será resolvida da seguinte forma a Eq.1:
Agora, vamos resolver nossa Eq.2:
Vamos somar Eq.1+Eq.2 para obter nossa solução:
Vamos adotar: , sendo uma constante real.
Logo, por fim: