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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 29

Calcule a integral.

int (x + 4)/(x^2 + 2 x + 5) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema queremos calcular a integral

int (x + 4)/(x^2 + 2 x + 5) d x

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse exercício iremos utilizar a substituição.

Veja só!! 😉

Passo 2

Rescrevendo a integral:

int (x + 4)/(x^2 + 2 x + 5) d x = int (x + 1 + 3)/((x^2 + 2 x + 1) + 4) d x

Fatorando

(x^2 + 2 x + 1) = (x + 1)^2

int (x + 1 + 3)/((x + 1)^2 + 4) d x

Seja u = x + 1 d u = d x

Aplicando agora a substituição

int (x + 1 + 3)/((x + 1)^2 + 4) d x = int (u + 3)/(u^2 + 4) d u

Separando em duas equações

int (u)/(u^2 + 4) d u + int (u + 3)/(u^2 + 4) d u

Passo 3

Calculando individualmente cada uma:

int (u)/(u^2 + 4) d u = (1)/(2) int (2 u d u)/(u^2 + 4)

z = u^2 + 4

d z = 2 u d u

(1)/(2) int (d z)/(z)

(1)/(2) ln z

(1)/(2) ln u^2 + 4

Agora iremos calcular:

int (3)/(u^2 + 4) d u = 3 int (d u)/(u^2 + 2^2)

3 ((1)/(2) arctan ((u)/(2)))

(3)/(2) arctan (u)/(2)

Somando e substituindo a variável auxiliar:

= (1)/(2) ln ((x + 1)^2 + 4) + (3)/(2) arctan (x + 1)/(2)

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

int (x + 4)/(x^2 + 2 x + 5) d x = (1)/(2) ln |x^2 + 2 x + 5| + (3)/(2) tan^(- 1) ((x + 1)/(2)) + C

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