Calcule a integral.

∫ x + 4 x 2 + 2 x + 5 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😁

Nesse problema queremos calcular a integral

∫ x + 4 x 2 + 2 x + 5 d x

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

Nesse exercício iremos utilizar a substituição.

Veja só!! 😉

Passo 2

Rescrevendo a integral:

∫ x + 4 x 2 + 2 x + 5 d x = ∫ x + 1 + 3 x 2 + 2 x + 1 + 4 d x

Fatorando

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

∫ x + 1 + 3 x + 1 2 + 4 d x

Seja u = x + 1 d u = d x

Aplicando agora a substituição

∫ x + 1 + 3 x + 1 2 + 4 d x = ∫ u + 3 u 2 + 4 d u

Separando em duas equações

∫ u u 2 + 4 d u + ∫ u + 3 u 2 + 4 d u

Passo 3

Calculando individualmente cada uma:

∫ u u 2 + 4 d u = 1 2 ∫ 2 u d u u 2 + 4

z = u 2 + 4

d z = 2 u d u

1 2 ∫ d z z

1 2 ln ⁡ z

1 2 ln ⁡ u 2 + 4

Agora iremos calcular:

∫ 3 u 2 + 4 d u = 3 ∫ d u u 2 + 2 2

3 1 2 arctan ⁡ u 2

3 2 arctan ⁡ u 2

Somando e substituindo a variável auxiliar:

= 1 2 ln ⁡ x + 1 2 + 4 + 3 2 arctan ⁡ x + 1 2

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ x + 4 x 2 + 2 x + 5 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 2 x + 5 + 3 2 tan - 1 ⁡ x + 1 2 + C

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