Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 37
Calcule a integral.
Passo 1
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, se formos achar as raízes do denominador não vamos achar raiz real, não da pra tentar fazer uma Substituição, não temos nada na expressão que dê pra usar que quando derivarmos apareca também na expressão, vamos então tentar Frações Parciais :
Temos aqui o Caso II, onde o denominador é um produto de fatores lineares, e alguns fatores são repetidos:
Passo 2
Vamos achar os valores de , , e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:
Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:
Substituindo o valor de na terceira e quarta ficamos com:
Pronto, achamos os valores de , , e , vamos agora substituir de volta na integral:
Vamos resolver as duas integrais separadamente.
Passo 3
Vamos resolver, com a primeira vamos fazer uma manipulação para ficar parecida com uma integral que conhecemos:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos aplicar:
Passo 4
Com a segunda vamos fazer uma manipulação:
Para a primeira vamos fazer uma Substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 5
Para a segunda vamos fazer uma manipulação para ficar parecida com uma integral que conhecemos:
Vamos agora fazer uma substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 6
Juntando tudo agora:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: