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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 28

Calcule a integral indefinida.

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t

Passo 1

Oi, galera! Nesse exercício, precisamos calcular a integral indefinida

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t .

Em um primeiro momento, essa integral não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo, né? Lá temos que

∫ sen ⁡ t   d t = - cos ⁡ t + C

e também que

∫ e t   d t = e t + D ,

onde C e D são constantes quaisquer.

🤔 Mas nesse exercício, temos que o integrando é dado pelo produto entre a função sen ⁡ t e a função e t . Então, como resolvemos essa questão?

Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma das integrais presentes na Tabela. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?

Regra da Substituição:

Se definirmos a função derivável g t como uma variável u , ou seja, u = g ( t ) , e se a função f for contínua em seu domínio I , então vale que

∫ f g t g ' t   d t =   ∫ f u   d u ,  

desde que a imagem de g ( t ) esteja contida no domínio I de f .

🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?

No próximo Passo, vamos escolher as funções f e u = g ( t ) de maneira conveniente, que nos possibilite usar uma das duas fórmulas da Tabela que mostramos aqui em cima.

💡 Vamos relembrar de uma propriedade das integrais indefinidas que vai nos ajudar a resolver essa questão.

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f t d t = c   ∫ f t d t .

Além disso, precisamos relembrar da seguinte derivada:

cos ⁡ t ' = - sen ⁡ t .

Temos tudo o que precisamos. Bora lá!

Passo 2

Perceba que como

cos ⁡ t ' =   - sen ⁡ t

e a função sen ⁡ t aparece no integrando, então uma boa escolha para f e u é dada por

f t = e t

e

u = g t = cos ⁡ t ,

pois

f g t = e cos ⁡ t  

e, além disso, derivando u em relação à variável t , temos que

d u d t = g ' t = - sen ⁡ t ,

ou seja,

d u = - sen ⁡ t d t .

Logo, substituindo os respectivos valores, vale que

∫ f g t g ' t   d t =   ∫ e cos ⁡ t ⋅ - sen ⁡ t   d t ,

ou seja,

∫ f g t g ' t   d t =   - ∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t .

Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - ∫ f u   d u ,

onde

- ∫ f u   d u = - ∫ e u   d u .

Mas observe que essa integral da direita, em função da variável u , nós sabemos calcular né? Como relembramos no Passo 1 , temos que

∫ e u   d t = e u + C 1 .

Logo,

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - ∫ e u   d u = - e u + C 2 ,    

onde C 2 = - C 1 é uma constante qualquer.

Logo, temos que

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - e u + C 2 .

Passo 3

Mas se liga que que ainda não terminamos!

A igualdade

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - e u + C 2

não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir u = g t = cos ⁡ t .

Fazendo isso, vamos ter que

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - e u + C 2 = - e cos ⁡ t + C 2 ,

ou seja, a integral do enunciado é dada por ∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - e cos ⁡ t + C 2 .

Resposta

A integral é dada por:

∫ e cos ⁡ t sen ⁡ t d t = - e cos ⁡ t + C 2 ,

onde C 2 é uma constante qualquer.

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(a) Calcule a integral de três maneiras: usando a substituição u = x , usando a substituição u = 2 - x , e completando o quadrado. ∫ 1 2 x - x 2d x (b) Mostre que as respostas de (a) são equivalentes.