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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 6h

6. Utilizando o Exercício 5, calcule.

h ) int (x - 3)/(x^2 + 3 x + 2) d x

Passo 1

Vemos que a função na nossa integral não é parecida com a fórmula do exercício 5. Logo, para melhorar vamos usar o conceito que diz que se alpha e beta são raízes da equação a x^2 + b x + c = 0 , então a x^2 + b x + c = a ( x - alpha ) ( x - beta ) . Ou seja, descobrindo as raízes da equação no denominador, podemos fatorar o mesmo. Nesse caso, por meio de Bhaskara, obtemos as raízes x = - 1 e x = - 2 . Dessa forma,

int (x - 3)/(x^2 + 3 x + 2) d x = int (x - 3)/(( x - (- 1) ) ( x - ( - 2 ) )) d x = int (x - 3)/(( x + 1 ) ( x + 2 )) d x

Passo 2

Agora, como pedido no enunciado, vamos usar a fórmula (m x + n)/(( x - alpha ) ( x - beta )) = (A)/(x - alpha) + (B)/(x - beta) .

(x - 3)/(( x + 1 ) ( x + 2 )) = (A)/(x + 1) + (B)/(x + 2)

Faremos com que todos denominadores fiquem iguais multiplicando cada uma das frações pelo termo que está faltando nelas. Não se esquecendo que devemos multiplicar o numerador e o denominador de cada fração pelo mesmo termo para não alterar a proporcionalidade da fração.

(x - 3)/(( x + 1 ) ( x + 2 )) = (A)/(x + 1) (( x + 2 ))/(( x + 2 )) + (B)/(x + 2) (( x + 1 ))/(( x + 1 ))

(x - 3)/(( x + 1 ) ( x + 2 )) = (A ( x + 2 ))/(( x + 1 ) ( x + 2 )) + (B ( x + 1 ))/(( x + 2 ) ( x + 1 ))

Como todos os termos estão sendo divididos pelo mesmo valor, multiplicando tudo por ( x - 2 ) ( x - 1 ) . Assim,

x - 3 = A (x + 2) + B (x + 1)

x - 3 = x A + 2 A + x B + B

x - 3 = (A + B) x + ( 2 A + B )

Sabendo que a parte esquerda da igualdade deve ser igual a m x + n . Pelo lado esquerdo, temos que m = 1 , pois x = 1 * x ; e, como o termo independente é - 3 , n = - 3 . Enquanto isso, olhando pelo lado direito m = ( A + B ) e n = ( 2 A + B ) . Então, montando o sistema:

{[[A + B = 1],[2 A + B = - 3]])

=> A + B = 1 => A = 1 - B (1)

=> 2 A + B = - 3 => B = - 3 - 2 A (2)

Substituindo (2) em (1)

=> A = 1 - B = 1 - (- 3 - 2 A) = 1 + 3 + 2 A = 4 + 2 A => 2 A - A = - 4 => A = - 4

Colocando o valor de A em qualquer uma das equações, obtemos

B = 5

Logo,

(x - 3)/(( x + 1 ) ( x + 2 )) = (A)/(x + 1) + (B)/(x + 2)

(x - 3)/(( x + 1 ) ( x + 2 )) = (- 4)/(x + 1) + (5)/(x + 2)

(x - 3)/(( x + 1 ) ( x + 2 )) = - (4)/(x + 1) + (5)/(x + 2)

Passo 3

Substituindo na integral

int (x - 3)/(( x + 1 ) ( x + 2 )) d x = int (- (4)/(x + 1) + (5)/(x + 2)) d x = - int (4)/(x + 1) d x + int (5)/(x + 2) d x

Para a primeira integral, fazendo u = x + 1 => d u = d x

int (4)/((x + 1)) d x = 4 int (1)/((x + 1)) d x = 4 int (1)/(u) d u = 4 ln |u| + k = 4 ln |x + 1| + k

Para a segunda integral, fazendo u = x + 2 => d u = d x

int (5)/((x + 2)) d x = 5 int (1)/((x + 2)) d x = 5 int (1)/(u) d u = 5 ln |u| + k = 5 ln |x + 2| + k

Portanto,

- int (4)/(x + 1) d x + int (5)/(x + 2) d x = - 4 ln |x + 1| + 5 ln |x + 2| + k

Resposta

Logo, a resposta dessa integral é

int (x - 3)/(x^2 + 3 x + 2) d x = - 4 ln |x + 1| + 5 ln |x + 2| + k

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